En un laboratorio se lleva un registro del número de bacterias, en millones, que crecen en función del tiempo para dos muestras diferentes. Si la primera muestra se encuentra expresada por $9^{5 t}$ y la segunda mediante $3^{6 t} (27^{5 - 5 t})$ , donde t representa el tiempo en minutos, determine el tiempo en el que las muestras son iguales.

Question

Answer

Para resolver el problema de encontrar el tiempo en el que las dos muestras de bacterias tienen el mismo número, seguimos estos pasos:

Problema:
Se tiene la función que describe el crecimiento de bacterias en dos muestras diferentes:

Primera muestra: 9^5t;
sabemos que 9= 3², por lo tanto 9^5t= (3²)^5t= 3^2*5t= 3^10t
Segunda muestra: 3^6t * (27^5−5t);

sabemos que 27=3³, por lo tanto (27^{5 - 5t})= (3^3t)^5−5t= 3^3*(5-5t)= 3^15-15t
entoces : 3^6t * 27^5-5t = 3^6t * 3^15-15t
utilizamos la propiedad de las potencias (a^m * aⁿ= a^m+n); 3^6t * 3^15-15t= 3^{6t+15-15t =}3^15-9t

Paso 2: Igualar las funciones
Queremos encontrar el tiempo t en el que las dos muestras tienen el mismo número de bacterias, es decir, igualar las dos expresiones:

3^10t= 3^15−9t

Paso 3: Resolver la ecuación
Dado que las bases son iguales, podemos igualar los exponentes:

10^t=15−9^t

Resolvemos para t:

Suma 9^t a ambos lados de la ecuación: 10^t+9^t=15 / 10^t + 9^t
Divide ambos lados por 19: t=15/19^t

Conclusión
El tiempo en el que las muestras tienen el mismo número de bacterias es t=15/19 minutos.

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