Determine la expresión factorizada, dado: $\frac{m^5+32}{6m^2+4m-2}$

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Para determinar la expresión factorizada de6 metros2+ 4 m − 2metro5+ 32​, necesitamos factorizar el numerador y el denominador por separado.

1. Factorización del numerador:metro5+32 Esta es una suma de potencias, específicamente una suma de quintas potencias. Podemos escribir32como25. Entonces,metro5+32=metro5+25La fórmula general para la suma de potencias imparesanorte+bnorte(dóndenortees impar) es( a+b ) ( an − 1−an − 2b+an − 3b2−⋯+bn − 1). Paranorte=5,a=metro, yb=2: metro5+25=( metro+2 ) ( metro4−metro3·2+metro2·22−metro·23+24) metro5+32=( metro+2 ) ( metro4−2 metros3+4 metros2−8 metros+16 )

2. Factorización del denominador:6 metros2+4 metros−2 Primero, podemos factorizar el factor común de 2: 6 metros2+4 metros−2=2 ( 3 metros)2+2 metros−1 )

Ahora, necesitamos factorizar la expresión cuadrática3 metros2+2 metros−1Podemos usar el método ac o prueba y error. Necesitamos dos números que se multipliquen para...3×( − 1 )=− 3y suman 2. Estos números son 3 y -1. Reescribe el término del medio: 3 metros2+3 metros−metro−1 Factorizar por agrupación: 3 metros ( metros)+1 )−1 ( metro+1 ) ( 3 metros−1 ) ( metro+1 )

Entonces, la forma factorizada del denominador es2 ( 3 metros)−1 ) ( metro+1 ).

3. Combina el numerador y el denominador factorizados: 6 metros2+ 4 m − 2metro5+ 32​=2 ( 3 m − 1 ) ( m + 1 )( m + 2 ) ( m4-2 metros3+ 4 metros2− 8 m + 16 )​

En este punto, comprobamos si existen factores comunes entre el numerador y el denominador que puedan cancelarse. En este caso, no hay factores comunes.

Por lo tanto, la expresión completamente factorizada es: 2 ( 3 m − 1 ) ( m + 1 )( m + 2 ) ( m4-2 metros3+ 4 metros2− 8 m + 16 )​

La respuesta final es2 ( metros)+1 ) ( 3 metros−1 )( metro+2 ) ( metro4−2 metros3+4 metros2−8 metros+16 )​​