La diferencia entre el dinero que tiene Juan y el que tiene Gustavo es de $400. La cantidad de dinero de Juan es a la de Gustavo como 9 es a 7. ¿Cuánto dinero tiene Gustavo?

juan – gustavo

  A9–A7⇒400

        A2⇒400

    A⇒2/400     IGUAL A 200  200*9⇒1800                

          200*7⇒1400

1800–1400⇒400

Solución:

J - G = 400      (J = Juan; G = Gustavo)
La proporción es
                       9/7 = J/G
Aplicanbdo la propiedad apropiada de proporciones
 
                      (9 - 7)/7 = (J - G)/G
                          2/7 = 400/G
Determinando la cuarta proporcional
                              G = (7x400)/2
                              G = 1400
Reemplazando G
J - 1400 = 400
J = 400 + 1400 
J = 1800
                              Tienen
                                   Juan: 1800
                                   Gustavo: 1400

Se sabe que el dinero de Juan menos el de Gustavo da 400. Entonces nos queda J - G = 400

Ahora como nos da la relaciòn de 9/7, podemos plantearlo así:

         J - G = 400

        9 - 7 = 2           (2 para llegar a 400, se lo debe multiplicar por "200")

Por lo que vamos a hacer lo mismo con el 7, "para llegar a G"... 7*200= 1.400//

¡Perfecto! Vamos a resolver este problema utilizando proporciones.

 1 Plantear la proporción: Sabemos que la cantidad de dinero de Juan es a la de Gustavo como 9 es a 7. Podemos escribir esto como:
   Juan / Gustavo = 9 / 7
 2 Usar una variable:  Sea "x" la cantidad de dinero que tiene Gustavo.  Entonces, dado que la diferencia entre el dinero de Juan y Gustavo es de $400, Juan tiene x + $400.  Sustituimos esto en la proporción:
   (x + $400) / x = 9 / 7
 3 Resolver para x: Para resolver esta ecuación, podemos multiplicar en cruz:
   7 * (x + $400) = 9 * x

   7x + $2800 = 9x

   $2800 = 2x

    x = $1400

Por lo tanto, Gustavo tiene $1400.

 4 Verificar la respuesta: Si Gustavo tiene $1400, Juan tiene $1400 + $400 = $1800.  La proporción 1800/1400 se simplifica a 9/7, lo que coincide con la información del problema.

Respuesta: Gustavo tiene $1400.

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Porqué es valido multiplicar en cruz en el paso 3?

La multiplicación cruzada es una técnica válida en este caso porque se basa en una propiedad fundamental de las proporciones:  la igualdad de productos cruzados.

Si tenemos una proporción a/b = c/d, donde b y d son diferentes de cero, entonces el producto de los extremos (a * d) es igual al producto de los medios (b * c). Es decir,  a * d = b * c.

Demostración:

Para demostrar por qué esto es cierto, podemos partir de la proporción a/b = c/d.  Si multiplicamos ambos lados de la ecuación por el mismo número, la igualdad se mantiene.  Multipliquemos ambos lados por b * d:

(a/b) * (b * d) = (c/d) * (b * d)

En el lado izquierdo, las "b" se cancelan, y en el lado derecho, las "d" se cancelan:

a * d = c * b

Lo que nos da la igualdad de productos cruzados.

Aplicando al problema:

En el problema, teníamos la proporción (x + $400) / x = 9 / 7.  Aplicando la multiplicación cruzada, obtenemos:

7 * (x + $400) = 9 * x

Que es exactamente lo que hicimos en el paso 3.

En resumen: La multiplicación cruzada es una forma abreviada de multiplicar ambos lados de una proporción por el producto de los denominadores para eliminar las fracciones y simplificar la ecuación.  Es una técnica válida y útil para resolver proporciones.