Una persona dispone de 12 lápices de distintos colores para dibujar un adorno que pegará en un muro. Este adorno estará formado por ocho cuadrados, como el que se representa en la siguiente figura:

Cada cuadrado debe ser pintado con alguno de los lápices y dos cuadrados seguidos no pueden ser pintados del mismo color.

¿Cuántos adornos distintos con las características antes mencionadas se pueden formar?

DEMRE / Universidad de Chile (2021). Modelo de Prueba de Matemática.

Para resolver este problema, podemos utilizar el concepto de permutaciones con restricciones.

Dado que hay 12 lápices de distintos colores y 8 cuadrados, podemos elegir el color del primer cuadrado de 12 maneras.

Para el segundo cuadrado, no podemos elegir el mismo color que el primer cuadrado, por lo que tenemos 11 opciones.

Para el tercer cuadrado, no podemos elegir el mismo color que el segundo cuadrado, por lo que tenemos 11 opciones nuevamente.

Podemos seguir este patrón hasta el octavo cuadrado:

12 × 11 × 11 × 11 × 11 × 11 × 11 × 11 = 12 × (11^7)

Sin embargo, debemos tener en cuenta que los adornos que se obtienen al girar o reflejar otro adorno se consideran iguales.

Por lo tanto, debemos dividir el resultado entre el número de simetrías del adorno, que es 8 (4 rotaciones y 4 reflexiones).

Por lo tanto, el número total de adornos distintos es:

(12 × 11^7) / 8

Después de realizar los cálculos, obtenemos:

(12 × 11^7) / 8 = 194,594,880

Entonces, hay aproximadamente 194,6 millones de adornos distintos que se pueden formar con las características mencionadas.